Puissance & énergie
3.0 - Mise en situation
3.1 - Définitions de p(t) (puissance) et É (énergie)
3.2 - La puissance et l'énergie pour un circuit RC
3.3 - La puissance moyenne sur R
3.4 - La puissance moyenne sur L et C
3.5 - Notre exemple du chapitre #1
3.6 - La puissance complexe
3.7 - Le dipôle passif
3.8 - Le dipôle passif équivalent
3.9 - Le dipôle passif sous l'angle de la puissance
3.10 - Des kWs superpuissants !
3.11 - Harmoniques et facteur de puissance
3.12 - Exercices
3.0 - Mise en situation
La prise d'énergie domestique 120/240 qui nous a servi de départ dans notre discussion sur les circuits électriques à fréquence fixe est un port de sortie d'un réseau de distribution d'énergie moderne. Il existe plusieurs points de raccordement au réseau et pour bien comprendre le comportement de ce réseau, il faut réfléchir aux énoncés suivants:
• L'énergie sous forme électrique est en demande partout; mais l'électricité n'est qu'un moyen de transporter de l'énergie.
• Le problème demeure toujours la source d'énergie primaire.
• Pas d'énergie primaire, pas d'énergie disponible sous forme d'électricité.
• L'énergie peut être convertie en énergie électrique, transportée sur de grandes distances et reconvertie en énergie d'une autre forme.
• Un réseau d'énergie électrique n'est en réalité qu'un moyen de transport instantané de l'énergie.
Ceci permet une vie où le travail physique est de beaucoup diminué.
• Nous sommes privilégiés au Québec; nous possédons des ressources énergétiques (hydrauliques) importantes et nous avons un réseau d'énergie (Hydro-Québec) capable de nous alimenter presque en tout temps.
3.1 - Définitions de p(t) (puissance) et É (énergie)
Dans le domaine du temps, on défini p(t) = v(t)i(t) et É = òp(t)dt
La puissance p(t) est égale au produit instantané de la tension et du courant si ces deux variables sont mesurées aux bornes d'un dipôle.
L'énergie É est la sommation de cette puissance dans le temps.
| Dipôle: regroupement d'éléments matériels où se manifeste les différents effets de l'électricité et auquel nous avons deux points de raccordement. |  |
Dipôle actif: le regroupement peut contenir les effets "joule" "faraday' et "coulomb", et des sources d'énergie.
Regardons de plus près les équations de puissance et d'énergie.
p(t) = v(t)i(t) et É = òp(t)dt
Si V(t) = Vmaxcos(wt) et que i(t) =Imaxcos(wt + p/6)Se rappeler que:
la valeur maximum est Vmax et Imax,
la valeur efficace est 1/Ö2 de Vmax ou de Imax; soit V et I : scalaires efficaces,
la phase se mesure au passage à zéro au moment où les deux fonctions ont la même pente.
VIcos(p/6) = valeur moyenne de p(t)
VI = Vmax /Ö2 *Imax /Ö2 si la tension et le courant sont sinusoïdaux et sans harmoniques.
S.V.P. faire cette preuve par méthode analytique.
É = òp(t)dt
Si l'angle entre V(t) et i(t) est p/2 ( L et C), la valeur de É est nulle. (Partie positive = partie négative)
Il n'y a donc pas d'énergie dissipée lorsque seulement les effets "faraday" et "coulomb" sont présents dans un circuit électrique.
Ce cas est théorique, car les circuits électriques ont toujours des pertes.
3.2 - La puissance et l'énergie pour un circuit RC
p(t) = v(t)i(t) et É = òp(t)dt
Si v(t) = 1cos(wt), que i(t) =1cos(wt + p/6) [i.e. les données précédentes avec Vmax et Imax = 1] et qu'on suppose que cette relation existe aux bornes d'un dipôle, on peut représenter ce dipôle par une résistance en parallèle avec une capacité.
iR(t) = [1/R]cos(wt)
iC(t) = [C]d/dt[cos(wt)] = [-wC]sin(wt) = [wC]cos(wt + p/2)
* en réalité, les deux courants sont à 90° l'un de l'autre.
Pour comprendre ce qui se passe lorsqu'on calcule p(t) et É, décomposons le courant total en deux composantes à 90°. Soit: i(t) = cos(p/6)cos(wt) - sin(p/6)sin(wt)
donc:
iR(t) = [cos(p/6)]cos(wt) = [Ö3/2]cos(wt)
iC(t) = [sin(p/6)]cos(wt + p/2) = [1/2]cos(wt + p/2)
pour satisfaire les données il faut:
1/R = Ö3/2 et wC = 1/2
3.3 - La puissance moyenne sur R
Aux bornes d'un élément R si v(t) = Vmaxcos(wt), i(t) =Imaxcos(wt) où Imax = Vmax/R suivant nos discussions précédentes.
Si l'on applique la définition:
p(t) = v(t)i(t)
p(t) = VmaxImaxcos2(wt) = VmaxImax[cos(2wt)/2 + 1/2] (De la trigonométrie: cos(2x) = 2cos2(x) - 1)
Pmoy = VmaxImax/2 = Vmax/Ö2Imax/Ö2 = VI où V et I sont des valeurs efficaces car nous avons des sinusoïdes parfaites.
Noter que I = V/R
Ainsi donc, aux bornes d'une résistance, si l'on mesure la tension et le courant en valeurs efficaces (rms), le produit de ces deux valeurs est la puissance moyenne dissipée par la résistance.
Si nous sommes à fréquence unique dans un circuit électrique, la relation entre v(t) et i(t) peut être déterminée au moyen de la technique des phaseurs.
Mieux encore, si les phaseurs sont exprimés en valeurs efficaces, la relation générale V = ZI
où Z = R + 0j donne I = V/R
Donc, Pmoy aux bornes d'une résistance pourra s'exprimer: VI = RI2 = V2/R
Il est très important de comprendre que:
si le courant qui traverse une résistance est connu en valeur efficace, la puissance moyenne dissipée par la résistance est:
P = RI2
où I est une valeur efficace et P est Pmoy et R est l'effet "joule" existant dans le circuit.En réalité, si l'on désire connaître l'effet "joule" dans un circuit, il suffit de mesurer la puissance et le courant pour établir la valeur de l'effet.
3.4 - La puissance moyenne sur L et C
Aux bornes d'un élément C si v(t) = Vmaxcos(wt), i(t) =Imaxcos(wt + p) où Imax = Vmax/(1/wC) suivant nos discussions précédentes.
Si l'on applique la définition:
p(t) = v(t)i(t)
De la trigonométrie:cos(x + y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)sin(2x) = 2sin(x)cos(x)
p(t) = VmaxImax[cos(wt)cos(wt + p/2)]
p(t) = VmaxImax[cos(wt){cos(wt)cos(p/2) - sin(wt)sin(p/2)}]
p(t) = VmaxImax[cos(wt){cos(wt)0 - sin(wt)1}]
p(t) = VmaxImax[cos(wt)] {- sin(wt)} = - VmaxImax/2{sin(2wt)} = - VI{sin(2wt)}
et comme la valeur moyenne d'une fonction symétrique du temps est nulle;
Pmoy = 0
où V et I sont des valeurs efficaces car nous avons des sinusoïdes parfaites.
Noter que I = V/(1/wC) où 1/wC = XC
Ainsi donc, aux bornes d'une capacité on ne mesure pas de puissance moyenne mais on retrouve un produit VI qui est semblable à celui aux bornes d'une résistance et qui pourrait se calculer de la même manière i.e. VI = XCI2 = V2/XC
Une réactance capacitive et une réactance inductive seront utilisées pour calculer une expression semblable à la puissance dissipée sur une résistance.
On nommera cette expression; la puissance réactive; symbole Q
Définitions très importantes:
P : la puissance réelle
Une résistance dissipe des watts i.e. de la puissance réelle.
Si le courant est en valeur efficace, cette puissance est RI2
 |  |
L'inductance et la capacité ont besoin d'une forme d'énergie récupérable pour maintenir les champs magnétiques et les champs électriques qui produisent les effets "faraday" et "coulomb". Comme l'on peut calculer certaines valeurs de la même manière que pour les watts, on nommera les expressions
QL la puissance réactive inductive et
3.5 - Notre exemple du chapitre #1
Reprenons notre exemple du premier chapitre et posons la solution avec des valeurs efficaces.
i(t) = 15.69/Ö2cos(377t - 0.38)
oùZR = (10 + 0j)W
ZL = (0 + j10)W
ZC = (0 - j6)W
Lors de notre solution précédente, nous avions utilisé la tension @ 0° comme référence pour nos phaseurs. L'utilisation du courant comme référence signifie simplement que nous solutionnons notre problème plus tard dans le temps. (1 msec i.e. 21.8/360 de 1/60 car nous sommes à 60 Hz)
Un diagramme des phaseurs avec le courant comme référence donne:
Un peu de réflexion et d'observation en regard du diagramme de phaseurs nous amène à conclure que les watts sont le produit du courant et de la composante de la tension qui est en phase avec ce courant, car Vr est [Vabcos(21.8)].
Comme preuve plus générale de cette énoncé, utilisons la rigueur mathématique et calculons le produit p(t) = v(t)i(t) puis trouvons la valeur moyenne de ce produit.
Pour notre exercice, posons v(t) = Vmaxcos(wt + q), i(t) =Imaxcos(wt)
v(t)i(t) = [VmaxImax] [{cos(wt)cos(q) - sin(wt)sin(q)} cos(wt)]
= [VmaxImax] [cos2(wt)cos(q) - sin(wt) cos(wt)sin(q)]
la valeur moyenne du terme - sin(wt) cos(wt)sin(q) est nulle, alors que la valeur moyenne de
[VmaxImaxcos(q)] cos2(wt) est [VmaxImaxcos(q)] /2 car la valeur moyenne de cos2 est 1/2.
or [VmaxImaxcos(q)] /2 = [Vmax/Ö2Imax/Ö2]cos(q)= VIcos(q)
Conclusion:
la puissance moyenne est le triple produit de:
• la valeur efficace de la tension,
• la valeur efficace du courant,
• le cosinus de l'angle entre les phaseurs tension et courant, si les fonctions sont sans harmoniques.
3.6 - La puissance complexe
Notre problème peut aussi être solutionné par une analyse avec les nombres complexes. Les équations suivantes sont déjà connues:
| Vab = VR + VL + VC Vab = ZRI + ZLI + ZCI Vab = RI + jXLI - jXCISi l'on multiple cette équation par I* (le courant phaseur conjugué) on trouve : VabI* = RII* + jXLII* - jXCII* or II* est égale au module de I au carré VabI* = RI2 + jXLI2 - jXCI2 |  |
Ce produit donnera une partie réelle qui est la puissance réelle que dissipe toutes les résistances qui sont dans le circuit considéré aux bornes où la tension et le courant sont connus.
Ce produit donnera une partie imaginaire qui est la puissance réactive que doit fournir la source aux circuit considéré;
si la partie imaginaire est positive, l'effet "faraday" est prédominant; XL>>XC
si la partie imaginaire est négative, l'effet "coulomb" est prédominant. XL<<XC
Dans notre exemple: Vab = 120@21.8°, I = 11@ 0° I* = 11@ - 0°
VabI* donne 1320 @ 21.8° i.e. 1225 + 490j
où 1225 est aussi égale à RI2 » 10 par 11 au carré 1210 @ 1.3% de précision et 490 est (XL - XC)I2 » (10 - 6) par 11 au carré 484 @ 2.9% de précision l'imprécision venant de l'arrondissement des valeurs pour simplifier la compréhension.
3.7 - Le dipôle passif
Pour que deux dipôles passifs soient équivalents pour les sources qui les alimentent, il faut que les impédances équivalentes soient identiques et que les admittances équivalentes soient identiques ou encore qu'ils consomment la même quantité de puissance réelle et de puissance réactive.
Comme un dipôle passif présente à la source un nombre complexe qui contient une seule partie réelle et une seule partie imaginaire et que la partie réelle consomme des watts alors que la partie imaginaire absorbe ou fournit des VARs, il devient facile de mesurer aux bornes d'un dipôle et d'en déterminer l'impédance ou l'admittance équivalente.
Les mesures requises sont: P watts, V volts, I ampères.
Les modèles qui suivent sont les représentations possibles que l'on peut définir à partir de mesures.
En électrotechnique, le phaseur tension est ordinairement la référence à 0°.
3.8 - Le dipôle passif équivalent
Si l'on désire représenter un dipôle sans connaître l'ensemble des éléments linéaires raccordés à ce dipôle, on peut faire des mesures (P,V,I ) extérieures au dipôle et représenter ces mesures par un dipôle équivalent.
3.9 - Le dipôle passif sous l'angle de la puissance
Dans la pratique usuelle de l'usage de l'énergie électrique, on ne mesure pas des phaseurs, mais plutôt des grandeurs scalaires. Aux bornes d'un dipôle passif, l'expérience démontre que les six scalaires suivants sont d'intérêt.
I = valeur scalaire du phaseur courant, ampères
P = valeur scalaire de la puissance moyenne = puissance réelle, Watts
Q = valeur scalaire de la puissance réactive, VARs (volt-ampères réactifs)
S = valeur scalaire de la puissance apparente, VAs (volt-ampères)
FP= (facteur de puissance) valeur scalaire du rapport P/S, sans dimensions
Si le dipôle est passif et que la convention positive est respectée pour les phaseurs tension et courant, la puissance réelle passe de la source d'énergie vers le dipôle. A partir de cette observation, nous établissons les règles suivantes:
P = est dans le sens du courant et égal à (VI)FP
Q = est dans le sens du courant(si inductif) et égal à (VI)sin(acosFP)
En réalité, les valeurs S, P et Q forme un triangle communément appelé "triangle de puissance".
Pour un dipôle sous tension sinusoïdale pure, FP est le cosinus de l'angle entre les phaseurs tension et courant.
Si les phaseurs tension ou courant contiennent des harmoniques, la définition fondamentale est applicable.
3.10 - Des kWs superpuissants !
Par une belle fin de journée de juillet (75 ?) je me préparais à quitter mon bureau (sans fenêtre) pour aller bouffer un peu d'air pur dans mon jardin lorsqu'un ami me téléphona pour me demander de me rendre à Montréal de toute urgence car on voulait me montrer une invention qui allait régler tous les problèmes d'énergie de l'humanité. Devant l'insistance de mon ami et aussi encouragé par l'énorme cachet que l'on me promettait, je pris le chemin de notre métropole pour donner mon avis sur cette découverte.
Nous sommes dans les griffes de l'OPEP (Oganisation Productrice et Exportatrice de Pétrole) qui maintient le cour du brut à un prix jamais égalé et toute invention permettant d'économiser l'énergie attire le capital de risque qui y voit des possibilités de profits extraordinaires.
Comme on ne m'avait rien dit au téléphone, (secret industriel exige grande discrétion) je ne pouvais aucunement prévoir ce qui m'attendait et j'avais l'esprit ouvert à n'importe quoi. Mon ami m'attendait avec une autre personne qui me glissa une enveloppe (le cachet) et on me demanda de les suivre. Ascenseur vers le sous-sol, limousine avec rideau dans les fenêtres, départ en trombe vers je ne sais où.
Je ne suis pas de nature très brave et la mise en scène commençait à me rendre nerveux lorsque l'on me fit débarquer près d'une usine en retrait dans un parc industriel que je ne connaissais pas.
On me fit la démonstration suivante:
Que se passe-t-il?
L'inventeur prétend qu'il a trouvé une façon de faire travailler le courant plus fort, ce qui amène cette économie extraordinaire d'énergie.
Convaincu de ma bonne foi, il se décide enfin à m'expliquer son invention.
a) "je double le voltage de sorte que le courant force plus",
b) "je laisse passer le courant pendant un temps plus court que normal",
c) "le résultat parle de lui-même."
À surface égale, l'énergie est la même. Pourquoi alors la lecture des kWhs est-elle différente?
La seule explication possible devient l'appareil de mesure. En effet, pulser le courant introduit des harmoniques que le kWhmètre n'est pas en mesure d'enregistrer, sa réponse en fréquence étant limitée. Plus la discontinuité est grande dans le courant, plus ce dernier contient des harmoniques élevées et partant la lecture du kWhmètre est de plus en plus fausse.
À la limite, si la tension devenait très grande et le temps de conduction très petit, le kWhmètre indiquerait près de zéro. L'inventeur ne croit pas un mot de ce que je lui dis. Les financiers présents voient s'envoler des $$$ et je me sens bien seul avec mon explication.
Je propose donc que l'on déplace le lieu d'expérience au labo. de la Faculté et huit jours plus tard nous recommençons les manipulations, mais en découplant l'appareil de mesure des kWhs.
Les harmoniques sont isolées et la vérité sera au rendez-vous.
Huit jours plus tard, à la Faculté.
Suite à une question de ma part, j'appris que ce monsieur au bord de l'apoplexie était banquier et qu'il avait déjà investi 30k$ dans cette invention qui s'avérait difficile à commercialiser.
En effet, comment annoncer une invention qui est l'équivalent de court-circuiter le kWhmètre?
Voler des kWhs à travers des harmoniques est-il illégal?
La réponse semble évidente.
Comme complément d'information, je voudrais signaler que le même inventeur cherchait encore des bailleurs de fonds un an plus tard, ce qui démontre la conviction que l'on peut avoir lorsqu'on refuse de se rendre à l'évidence.
L'inventeur avait aussi admis qu'à certains angles de démarrage du courant, le canal de télévision #8 causait problème de réception.
Pourquoi?
3.11 - Harmoniques et facteur de puissance
Il est possible que le facteur de puissance ne soit pas l'unité, même si le circuit ne contient que des résistances.
b) L'interrupteur est synchrone et opère à un angle d'amorçage ß.
c) Le voltage aux bornes du contact contient une fondamentale et une série infinie d'harmonique.
d) Le courant contient une fondamentale et une série infinie d'harmonique.
f) Le voltage aux bornes de la résistance contient une fondamentale et une série infinie d'harmonique.
Le voltage aux bornes du contact étant une sinusoïde tronquée ne contient que des harmoniques impaires.
fr = valeur efficace fondamentale
hr = valeur efficace des harmoniques
La puissance active fournie par la source est égale à la puissance active absorbée par la résistance.
La puissance active absorbée par le contact est nulle car il n'y a pas de voltage et de courant au même instant.
Le courant circulant dans le circuit est le même partout.
La puissance fournie à la résistance est égale à la somme des puissances contribuées par la fondamentale et les harmoniques. Noter que les voltages harmoniques et les courants harmoniques sont en phase aux bornes d'une résistance.
Pour déterminer le facteur de puissance, utilisons la définition exacte du facteur de puissance.
La puissance active absorbée par le "moteur" est égale aux puissances actives débitées par les "génératrices" qui doivent nécessairement fournir seulement les puissances actives harmoniques de la charge. Le "moteur" absorbe une puissance réactive donnée par le produit de son voltage et de la composante en quadrature du courant fondamental.
3.12 - Exercices
E3-1
Trois impédances sont montées en série et raccordées à une source de tension de 50 volts. Les valeurs sont (60 + j0)W, (0 + j100)W, (0 - j20)W,
Prenant la source comme référence: DETERMINER :
[a] Le courant 0.5A@-53.1°
[b] Les watts livrés au circuit 15 watts
[c] Les VARs livrés au circuit 20 VARs
[d] Les VAs livrés au circuit 25 VAs
[e] Le facteur de puissance du circuit 0.60
Les charges suivantes sont en parallèle sur une barre omnibus:
[a] Moteur asynchrone P = 325kW Q = 313kVAR F.P. = en retard
[b] Soudeuse P = 185kW S = 310kVA F.P. = en retard
[c] Moteur synchrone P = 164kW F.P. = 0.80 en avance
Combien de kVA sont soutirés de la barre omnibus? 803kVA
Barre omnibus: point de raccord capable de fournir les charges qui y sont connectées.(nœud)
"Bus infini": barre omnibus où le voltage ne peut changer peu importe l'énergie qu'on en tire.
Traiter cet exercice avec la notion de dipôle et la relation complexe: puissance apparente = voltage*courant conjugué.
S = VI*
E3-4
L'impédance d'un moteur monophasé de 4kW, 230 volts, 60Hz à charge nominale est de (8.17+j5.27)W. On désire raccorder un condensateur en parallèle aux bornes du moteur pour avoir un F.P.=1 pour l'ensemble. Si le condensateur a un F.P.=5% .
[a] Donner la capacité en µF. (148 µF)
[b] Calculer P, Q, et S après l'ajout du condensateur.
[c] Calculer le rendement global. (84.8%)
Même si l'on discute "moteur", ce problème en est un de circuit. La donnée 4kW est la puissance mécanique nominale que peut fournir ce moteur à une charge et non la puissance électrique que le moteur tire du réseau.
Comment déterminer le sens de l'écoulement de l'énergie?
DEMANDEZ une discussion en salle de cours ou voir art. 25.4 du volume recommandé.
Le raccordement des appareils de mesure permet de déterminer si c'est une charge ou une source.
Si c'est une charge, calculez l'impédance de cette charge.
Si c'est une source, donnez ses spécifications.
Cet exercice vous permettra de conclure que:
on peut déterminer le module et l'angle d'une impédance mais non le signe de l'angle au moyen de trois appareils i.e. un voltmètre, un ampèremètre et un wattmètre. Ceci vous sera fort utile en laboratoire et pour la compréhension du modèle des transformateurs et du moteur induction.
Si vous concluez à une charge, Z = 22 + / - j33. Comment déterminer si l'impédance est inductive ou capacitive?
Si vous concluez à une source, S = - 71.28 + / - j106.9. Comment déterminer si la source a un facteur de puissance en retard ou en avance?
Comment se fait-il que la tension en début de ligne soit plus basse qu'à la charge?
E3-6
Un moteur induction monophasé 60Hz,220V, peut (à un point d'opération donné) être représenté par deux éléments en série à savoir R=10W et L=30mH.
[a] Calculez P, Q, S, F.P., à l'entrée du moteur. (2.186kW, 2.471kVAR,3.3kVA,0.662)
[b] Si le moteur possède un rendement de 71.6%, calculez la puissance de sortie en hp. (1.565kW,2.1hp.)
Il est de bonne pratique de représenter un problème par un modèle de circuit. Le moteur monophasé possède un modèle qui change avec la charge. Ici le modèle est valide seulement pour le calcul en cours.
a) Calculez P, Q, S, F.P. (4.8kW,6.4kVAR,8kVA, 0.6)
b) Déterminez la résistance et la réactance de Z1. (12,16)
c) Est-ce que Z1 est inductif ou capacitif? (impossible de le savoir)
d) Si on donne à Z2 une valeur purement capacitive, la lecture de l'ampèremètre devient 26.7 A. Est-ce que Z1 était inductif ou capacitif?
e) Calculez la nouvelle lecture du wattmètre. (8554.7 w)
Pour d) Retournez voir vos résultats de #3-5 et procédez par hypothèse pour conclure.
Rép. I = 2.8 @ 45°, P = 40W, Q = 70VA
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